논리 퀴즈 해답 RFC

dg 님의 글을 보고 깨달음을 얻었습니다.
아이디어는 dg 님의 것이고
제가 좀더 정리해보았습니다.

가정:
1) 김군과 이양이 평소 갖고 다니는 금액의 평균은 1000 원이다.
2) 김군과 이양이 갖고 다니는 금액은 k1, k2, k3, ..., k10 의
열 가지 중의 하나이고, k1 < k2 < ... < k10 이다.
( 10을 n 으로 확장해도 똑같습니다. )
3) 김군과 이양이 각 금액을 갖고 다니는 확률분포는 같다.

이제 김군이든 이양이든 내기직전 갖고 있는 돈이 ki 일 확률을
가정 3)에서 말한 확률분포 Pi (i=1,2,...,10) 라 합시다.
그러면 가정 2) 로부터
시그마( Pi ) = 1 .... (a) 이고
가정 1) 로부터
시그마( ki * Pi ) = 1000 .... (b) 입니다.

기대값을 따고 잃고가 아니라 시행 후에 김군의 주머니에 얼마가 있느냐로 합시다.
예를 들어 어느 시행에서 김군이 k3, 이양이 k5 를 가지고 있을 확률은
P3P5 이고 이 시행 후에 김군은 실제 (k3 + k5) 을 가지게 될 것이므로
이 시행에 한해서 김군은 (k3+k5)P3P5 = k3P3P5 + k5P3P5 를 가진다고 할 수 있습니다.
또 둘다 k4 를 가지고 있을 확률은 P4P4 이고 이때는 비겼으므로
김군은 k4P4P4 의 금액을 가진다고 할 수 있습니다.
물론 김군이 k5, 이양이 k3 을 가졌다면 시행후에 김군은 0 원을 갖겠지요.

이 항들을 모두 더하면 시행후에 김군이 가질 금액이 나오는데요,
이 항들을 (비기거나 이기는 경우 원래 갖고 있던 돈)과 (이겨서 따오는 돈)으로 분류하면
알기 쉽습니다.
예를 들어 항에 k1 이 들어가는 경우는
k1 (p1p1 + p1p2 + p1p3 +...+ p1p10)
+ (0) ... (c) 입니다.
즉 김군이 이겨서 k1 을 따오는 경우는 없다는 거죠.
(c) 에는 모든 항에 p1 이 있으므로 인수분해하면
k1p1 (p1 + p2 + p3 +...+ p10) = k1p1 (왜냐면 (a) 로부터)
가 성립합니다.

또 항에 k2 가 들어가는 경우는
k2 (p2p2 + p2p3 + p2p4 +...+ p2p10)
+ k2 (p1p2) 입니다.
즉 김군이 k2 를 갖고 있고 이양이 k2 부터 k10 까지 갖고 있는 경우이거나
김군이 k1 을 갖고 있고 이양이 k2 를 갖고 있어서 k2 를 뺏어 오는 경우에만
항에 k2 가 나타나죠.
이 역시 모든 항에 p2 가 있으므로 정리하면
k2p2(p1 + p2 + p3 +...+ p10) = k2p2 가 성립합니다.

이와 같이 해서
마지막으로 항에 k10 이 들어가는 경우는
(k10p10p10) +
k10(p1p10 + p2p10 + p3P10 +...+p9p10) 이죠.
즉 둘다 k10 을 갖고 있는 경우이거나
이양이 k10 을 갖고 있고 김군이 k1 부터 k9 까지 갖고 있어서 k10 을 뺏어오는
경우이지요.
이 역시 더하면 k10p10 이 성립합니다.

따라서 이 시행후 결국 김군이 가지게 될 금액은
k1p1 + k2p2 + k3p3 +...+ k10p10 = 1000 (왜냐면 (b) 로부터)
입니다.

흐흐흐 김군이 원래 갖고 다니는 금액의 평균이 1000 원이었으므로
시행 후에 김군이 갖게 될 금액 역시 1000 원이 나오는거죠.

앞에서 수많은 논의의 가장 큰 문제점은 그 금액이 X 든 X+a 든 X-a 든
갖고 있을 확률이 1/2 로 가정한다는 겁니다.
그 확률들을 1/2 로 가정해 버리는 순간 모든게 엉터리가 되는거죠.

comment 부탁합니다.
휴~ 이거 하느라 하루를 날려먹었다.